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Neste artigo vamos apresentar os métodos de cálculo de confiabilidade das associações série e paralelo de componentes e sistemas.

A confiabilidade dos sistemas

Para a maior parte das vezes em que se projeta um sistema não se leva em consideração a taxa de falhas do sistema envolvido. A demanda uma análise complicada, falta de requisitos, limitações financeiras, técnicas ou simplesmente porque se o sistema falhar "não vai ter tanto problema assim".

Entretanto algumas aplicações requerem uma taxa de falhas baixa.  Podemos citar alguns sistemas de:

  • Automóveis (ABS, airbag, freio, motor, etc);
  • Iluminação de emergência;
  • Aeronaves (avionicos, controle de vôo, etc);
  • Sistemas militares;
  • Serviços computacionais de bancos e lojas;
  • Controle ambiental;
  • Aparelhos de manutenção de vida (UTI);
  • etc;

Nos sistemas citados acima, em caso de falha, há possibilidade de problemas com segurança operacional, perdas financeiras, perdas pessoais, comprometimento de imagem, susceptibilidade a processos judiciais por danos morais, imagem, etc.
Então a partir de uma análise de risco e de uma taxa de risco aceitável para a operação do sistema, se efetua uma análise do sistema para se calcular a confiabilidade (em inglês "reliability") necessária ou aceitável.

...mas antes de começar, algumas definições importantes...

O que é confiabilidade?

Uma definição prática de confiabilidade é "a probabilidade que uma peça de equipamento ou sistema operando sob determinadas condições de funcionar satisfatoriamente durante um determinado periodo de tempo".  A confiabilidade é um número entre 0 e 1.

Suponhamos que comecemos um teste a um tempo 0 com NO (operating) dispositivos funcionando.  Após algum tempo t, Nf (failed) da quantidade de dispositivos deverá ter falhado e NS (survived) deverá ter sobrevivido:
$$NO = Nf + N$$

A confiabilidade (reliability) então é dada no tempo por

$$R(t) = \frac{N_S}{N_O}$$

$$R(t) = \frac{N_O-N_f}{N_O} = 1-\frac{N_f}{N_O}$$

O que é probabilidade de falha

A probabilidade de falha de um sistema é justamente o contrário da confiabilidade.

$$Q_S=1-R_S$$

Onde QS é a probabilidade de falha de um sistema ou componente.

É obvio que,

$$R_S+Q_S=1$$

Taxa de falhas (λ)

Todo produto tem uma taxa de falhas, λ.
É definida [1] como o número total de falhas dentro de um item populacional dividido pelo total número de unidades de vida despendido por essa população, durante um período de medição particular sob determinadas condições.
De uma maneira simplista, seria o número de unidades falhando por unidade de tempo.
Essa taxa de falhas muda através da vida do produto e tem uma curva de apaência de fundo de banheira (em inglês "The Bathtub Curve" ), de acordo com a figura abaixo:Curva de banheira

Essa figura mostra a taxa de falhas no tempo de operação genérica para a população de um produto.  É na verdade uma composição das curvas de falhas por por problemas de qualidade, stress de componentes, e envelhecimento, etc e está dividida em:

  • Periodo de falha decrescente ("period of decreasing failure rate - DFR);
  • Periodo de falha constante ("period of constant failure rate - CFR");
  • Periodo de falha crescente ("period of increasing failure rate IFR").
Periodo de falha decrescente

Conhecido também como periodo de "mortalidade infantil", na qual o número de falhas é alto e decresce rapidamente.  É nele que aparecem os problemas de projeto, uso de componentes de qualidade inferior e de qualidade.  Nele o fabricante pode ter ação direta, adotando procedimentos de "burn-in" no qual o produto é colocado sob condições de operação iguais ou semalhantes à que será submetido durante sua vida útil e somente depois e colocado efetivamente para a venda, entrega ao cliente e operação.

Periodo de falha constante

Esse período é o de vida util, na qual o produto estará sujeito à falhas aletórias.  Nele a taxa de falhas é tende a ser constante.

Período de falhas crescente

Nesse período, além do período de vida util, o envelhecimento dos componentes e o desgaste são muito grandes o que causa o aumento expressivo da taxa de falhas, até inviabilizar o uso do equipamento.

Tempo médio até a falha ou "Mean Time To Failure" (MTTF)

MTTF é nada mais que a espectativa de tempo até a falha.  Então, este varia de acordo com o tempo de vida do equipamento ou componente.
$$MTFF=\int_{0}^{\infty }R(t) dt$$
Para equipamentos reparáveis, MTTF é definido como o tempo médio até a primeira falha.

Vida média ou "Mean Life"

A vida média, θ, leva em consideração o tempo de vida individual de uma população.  É uma simples média do tempo de vida de cada um dos elementos e é dada por:
$$\theta =\frac { \sum_{i=1}^{n} ti }{n}$$
onde
ti = tempo de vida de cada amostra da população.

Tempo médio entre falhas ou "Mean Time Between Failure" (MTBF)

Este conceito aparece com uma certa frequência, e é aplicado a equipamentos que sofrem reparo e em que os elementos que falharam são substituídos.
 Podemos citar alguns itens os  quais esse conceito é aplicável:

  • Automóveis;
  • Aeronaves;
  • Equipamentos eletrônicos (rádios, televisores, amplificadores, radares, etc);
  • Máquinas.

A expressão MTBF é dada por:
$$MTBF=\frac{T(t))}{r}$$
Onde:

  • T(t) = Tempo total de operação
  • r = numero de falhas

É importante lembrar que MTBF apenas tem sentido para itens que têm reparo e que para este caso o MTBF representa exatamente o mesmo parametro que a vida média θ.  Tomando isso como premissa e de que a que a taxa de falhas é constante, pode-se então estimar a função confiabilidade :

$$R(t) = e^{-\lambda t} = e^{\frac{-t}{\Theta }}  = e^{\frac{-t}{MTBF}}$$

E para esse caso

$$\lambda = \frac{1}{MTBF}$$

Onde:

  • λ= Taxa de falhas
  • t = tempo
  • θ =  vida média

Cálculo da confiabilidade de um sistema

Confiabilidade de sistema em série

A mais simples, mais comum e talvez a mais importante é o a confiabilidade da configuração em série.  O sucesso operacional do sistema depende do funcionamento de todos os componentes.  A falha de um componente significa a falha do sistema como um todo.
A confiabilidade de uma configuração em série com n componentes é representada pela figura 2.

Confiabilidade de sistema em série
Nota importante: Para o sistema acima é assumido que a falha de qualquer um dos componentes é estatisticamente independente da falha ou sucesso de qualquer outro.  Isso é importante para a maioria dos casos práticos.  Caso isso não fosse verdade, então estatística condicional deveria ser usada, o que aumentaria a complexidade dos cálculos.

Para a configuração, de acordo com as premissas colocadas, a confiabilidade é dada por
$$RS(t) = R1(t)*R2(t)*R3(t)*...*Rn(t)=\prod_{i=1}^{n}Ri(t)$$
Como dito anteriormente, é assumida uma taxa de falha constante para cada um dos compontnets, o que significa que a distribuiçáo exponencial da função confiabilidade então fica:
$$RS(t)=e^{-\lambda _1t}*e^{-\lambda _1t}*...*e^{-\lambda_1 t}=e^{\sum_{1}^{n}-\lambda _i t}=e^{-\lambda t}$$
Onde
$$\lambda =\lambda_1+\lambda _2+...+\lambda _n = \frac{1}{\theta }$$
Então a taxa de falhas do sistema, <lambda>, é a soma das taxas de falha individuais e a meia vida do sistema
$$\theta =\frac{1}{\lambda }$$

Exemplo: Considere um sistema de LEDs em série com 10 componentes cada um tendo uma função densidade de tempo até a falha exponencial.
Vamos então assumir que cada componente tem uma confiabilidade de 0.99 por um período de 10 anos de uso.  A confiabilidade do sistema nesse período fica então:
$$R(t)=\frac{0.99}{10}=0.099$$

E a probailidade de falha do sistema nesse período fica:
$$Q(t)=1-R_S=1-0.099=0.901$$
Isso significa que, dentre um lote de 100 sistemas,  90 são esperados que falhem no período de 10 anos de uso,
Lembre-se para o caso da troca do componente quando há falha
$$ MTBF=\theta=\frac{1}{\lambda}\;\;e \;\; R=e^{(\frac{-t}{MTBF})}$$
O leitor deve ter em mente que, para a distribuição exponencial, a  probabilidade de sobrevivência de um MTBF sem falha é de
$$R = e^{-1} = 0.368\;\; ou \;\;37\%$$

Confiabilidade de sistema em paralelo

A próxima configuração mais comum encontrada em análise de confiabilidade é a configuração em paralelo como mostrada na figura 3.
Confiabilidade de sistema em paralelo
Nesse caso, assumindo que todos os componentes operam ligados, para o sistema falhar, todos os componentes têm que falhar ao mesmo tempo.
Fazendo
$$Qi=1-Ri=1-e^{\lambda_i t}$$
onde Qi é a probabilidade de falha de um componente, então a probabilidade de falha do sistema será dada por:
$$Q_S=Q_1*Q_2*...*Q_n=\prod_{i=1}^{n}Q_i$$
E a confiabilidade do sistema será dada por
$$R_S=1-Q_S$$
Desde que:
$$R_S+Q_S=1$$
Exemplo:
Considere uma lâmpada de semáforo composto por 5 LEDs em paralelo, cada um tendo uma confiabilidade de 0.99 por dez anos.
Então:
$$Qi = 1 - Ri = 1 - 0.99 = 0.01$$
$$QS = 0.01*0.01*0.01*0.01*0.01=0.01^{5} = 10^{-10} = 0.0000000001$$
$$RS = 1 - QS = 0.9999999999$$
A confiabilidade do sistema sobe de 0.99 para 0.9999999999.
A probabilidade de falha total baixa de 0.01 para 0.0000000001, ou seja, de 1 falha em 100 para 1 falha em 1000000000!

 Referências

[1] MIL-HDBK-338B