Eletricidade

A constante geométrica de núcleos de ferrites - Kg

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Criado em Quinta, 13 Outubro 2011 20:39

Última atualização em Domingo, 10 Junho 2012 20:52

Escrito por Marco Ortiz

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No cálculo de indutores ou transformadores tipo fly-back é necessário levar em consideração a corrente de operação e a energia armazenada.  Só que esses requisitos nos levam a uma necessidade de escolher dentre um vasto numero de opções de núcleo qual será o conjunto que nos atenderá, primariamente no quesito técnico, em segundo lugar em quesitos de preço, peso, etc.

Uma maneira prática de escolher um conjunto de núcleos capaz de nos fornecer um envelope de soluções é o levantamento do fator do núcleo, K_g.

K_g é um fator calculado a partir das cinco grandes especificações construtivas de indutores e transformadores as quais são:

1. Densidade de fluxo máxima
2. Corrente máxima;
3. Indutãncia;
4. Fator de preenchimento;
5. Resistência do enrolamento.

Essas especificações combinadas determinarão o tamanho do núcleo mínimo (ou necessário) para a construção do indutor (ou transformador fly-back).

Densidade de fluxo máxima e Corrente máxima

Dada uma corrente máxima (I_max) é desejável operar numa densidade de fluxo de pico (B_max).  O valor é escolhido para ser um pouco menor que a densidade de fluxo de saturação (B_sat) do material do núcleo.

Da solução do circuito magnético temos:

$$ni = B A_c R_g$$

onde

• n é o número de espiras;
• i é a corrente;
• B é a densidade de fluxo;
• A_c é a área do núcleo;
• R é a relutância do gap de ar;

Fazendo i=I_max e B=B_max teremos:

$$nI_{max} = B_{max} A_c R_g$$

E então a fórmula fica:

$$B_{max} =  \frac {A_c R_g}{nI_{max}}$$

Essa são as especificações 1 e 2.  O número de espiras (n) e a área do núcleo (A_c) e a relutância do gap (R_g) serão fatores desconhecidos.

Indutância

Precisamos calcular a indutância.  E ela será calculada a partir da seguinte fórmula:

$$L=\frac{n^{2}}{R_g}=\frac{\mu_0 A_c n^2}{l_g}$$

onde

• L é a indutância;
• n é o numero de espiras;
• R_g é a relutância do gap;
• μ₀ é a permeabilidade magnética do vácuo;
• A_c é a área do núcleo;
• l_g é o comprimento do gap;

Essa é a especificação 3.  O número de espiras (n), a área do nucleo (A_c) e o comprimento do gap (l_g) serão fatores desconhecidos.

Fator de preenchimento

A área da janela do enrolamento é o local onde serão acomodadas as espiras dos enrolamentos.  Se levarmos em consideração a quantidade total de espiras, a seção transversal do fio e a área da janela para o enrolamento poderemos estimar a constante K_b.

K_b aqui é o que chamaremos de fator de utilização da janela ou simplesmente "fator de preenchimento".  É a relação entre a área da janela e a área do cobre em questão.  Idealmente não é possível preencher totalmente a área da janela com o enrolamento por diversos fatores.  Os fatores que fazem com que K_b sejam maiores que 1 são:

• Quando utilizados, fios redondos não se encaixam perfeitamente o que aumenta K_b por um fator de 1.4 a 1.8;
• Isolação aumenta K_b para um fator entre 1.1 a 1.6, dependendo do tamanho do fio e tipo de isolação;
• Uso de carretel utiliza uma pequena parcela da área;
• Isolação entre as bobinas;
• Técnica de enrolamento.

Valores típicos de K_b:

• 2.0 para indutores de baixa tensão;
• 3.0 a 4.0 para transformadores comuns;
• 5.0 a 20.0 para transformadores de alta tensão (vários KVs);
• 1.60 para indutores feitos de cobre em lâmina (ou fita).

Calcularemos a constante de preenchimento K_b da seguinte forma:

$$K_b ≥ \frac{W_A}{n AW}$$

onde

• K_b é o "fator de preenchimento" do enrolamento;
• n é o número de espiras;
• A_W é a seção transversal do fio;
• W_A é a área da janela do núcleo para o enrolamento;

Essa é a especificação 4.  O número de espiras (n), a seção transversal do fio (A_W) e a área da janela do núcleo para o enrolamento serão fatores desconhecidos.

Resistência do enrolamento

A resistência do enrolamento será dada por

$$R =\frac {ρ l_b} {A_W}$$

O comprimento do fio é em função do número de espiras e do comprimento médio do enrolamento:

$$l_b=n MLT$$

Então a fórmula fica:

$$R =\frac {ρ n MLT} {A_W}$$

Onde

• ρ é a resistividade do material, normalmente cobre com valor de 1.724e–8 Ω.m;
• n é o número de espiras;
• MLT é comprimento médio de uma espira;
• A_W é a seção transversal do fio.

Essa é a especificação 5.  O número de espiras (n), o comprimento médio de uma espira (MLT) e a a seção transversal do fio (A_W) serão fatores desconhecidos.

A constante geométrica do núcleo

Relembrando, as cinco especificações são:

1. Densidade de fluxo máxima e
2. Corrente máxima:$$B_{max} =  \frac {A_c R_g}{nI_{max}}$$
3. Indutãncia: $$L=\frac{n^{2}}{R_g}=\frac{\mu_0 A_c n^2}{l_g}$$
4. Fator de preenchimento: $$K_b ≥ \frac{W_A}{n AW}$$
5. Resistência do enrolamento:$$R =\frac {ρ n MLT} {A_W}$$

Estas equações envolvem as seguintes variáveis
A_c, W_A, and MLT os quais são função da geometria do núcleo;
I_max, B_max , μ₀, L, K_b, R, e ρ, as quais são dadas como especificações e constantes;

n, l_g, and A_W, os quais são desconhecidos.

Eliminando os parâmetros desconhecidos, ajunta-se tudo numa só fórmula:

$$\frac{{A_C}^2W_A}{MLT}\geq \frac{\rho L^2{I_{max}}^2 K_b}{{B_{max}}^2R}$$

Do lado direito temos as especificações e outros parâmetros conhecidos.

Do lado esquerdo temos os parâmetros que são função da geometria do núcleo.

Então temos que escolher uma geometria que satisfaça a equação.

A constante geométrica do núcleo (Kg) é definido por:

$$K_g=\frac{{A_C}^2W_A}{MLT}$$

Onde:

• Kg é a constante geométrica do núcleo;
• Ac é a área do núcleo;
• W_A é a área da janela;
• MLT é o comprimento médio de uma espira.

Ou podemos trabalhar usando a inequação:

$$K_g\geq \frac{\rho L^2{I_{max}}^2 K_b}{{B_{max}}^2R}$$