Linhas de Transmissão

Ondas Estacionárias (parte I)

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Criado em Sexta, 05 Agosto 2011 01:05

Última atualização em Sábado, 09 Junho 2012 17:02

Escrito por Eduardo Faustino Coelho

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Vamos continuar trabalhando com uma LT sem perdas de impedância característica de impedância Z₀ e constante de fase β. A LT tem comprimento l e está operando na frequência ƒ produzida pelo gerador de força eletromotriz E e impedância Z_G. A LT está conectada na carga de de impedância Z_L. Como já foi discutido no post que tratava da solução da equação da LT, nessa linha propagam-se as ondas incidente de amplitude V⁺ e refletida de amplitude V^-.

Para evitar a confusão provocada pelo fato da onda refletida estar relacionada ao termo +βx e a onda transmitida estar relacionada ao termo -βx, vamos mudar o sistema de coordenadas. Vamos substituir a variável x (distância ao gerador) pela d (distância à carga). A relação entre x e d é simples:

$$d=l-x$$

Onde l é o comprimento da linha, veja a figura abaixo:

Com isso, a expressão da onda de tensão muda para:

$$V(d)= V^{+}e^{j\beta d}-V^{-}e^{-j\beta d}$$

Ao trocarmos a distância ao gerador pela distância à carga, temos que ter em mente que a origem do sistema de coordenadas também muda. No novo sistema de coordenadas, a origem não é mais o gerador e sim a carga. Nesse caso, a expressão do coeficiente de reflexão muda para:

$$\Gamma = \frac{V^{+}}{V^{-}}$$

Como as amplitudes das ondas de tensão e corrente são fasores, ou seja, são números complexos, o coeficiente de reflexão também é um número complexo que pode ser expresso como:

$$\Gamma_{L} = |\Gamma_{L}|e^{j\phi_{L}}=|\Gamma_{L}|(cos\phi_{L}-j sen \phi_{L}))$$

A amplitude da onda refletida pode ser expressa em termos da onda incidente e do coeficiente de reflexão, pela fórmula:

$$ V^{-}=\Gamma_{L}V^{+} $$

Substituindo as expressões do coeficiente de reflexão e da amplitude da onda refletida acima na expressão da onda de tensão, em seguida tirando o módulo da tensão localizada V(d). Temos e expressão:

$$|V(d)|=|V^{+}|\; \sqrt{1+2|\Gamma_L|cos(\phi_L-2\beta d)+|\Gamma _L|^2 }$$

Essa expressão nos diz que a amplitude da tensão localizada, dada pelo módulo de V(d), não é constante ao longo da linha, ou seja, ao percorrermos a linha, observaremos que existem pontos de máximo e de mínimo, isso ocorre devido ao termo:

$$2|\Gamma_L|cos(\phi_L-2\beta d)$$

que pode variar entre +2|Γ_L| (pontos de máximo) e -2|Γ_L| (pontos de mínimo). Como a função cosseno é periódica, os máximos e mínimos sucedem-se periodicamente formando um padrão, também chamado de padrão de ondas estacionárias. Os pontos de máximo ocorrem quando:

$$cos(\phi_L-2\beta d)=1$$

ou,

$$\phi_L-2\beta d=2N\pi$$

e os pontos de mínimo ocorrem quando:

$$cos(\phi_L-2\beta d)=-1$$

ou,

$$\phi_L-2\beta d=2N\pi+\pi$$

A distância entre um máximo e um mínimo é:

$$d_{MIN}-d_{MAX}=\frac {\pi}{2\beta}$$

Como um comprimento de onda corresponde a um giro de fase de dois pi radianos, resulta que:

$$\beta =\frac {2\pi}{\lambda}$$

Ou seja, a distância entre um mínimo e um máximo será igual a um quarto de comprimento de onda, logo a distância entre dois máximos ou dois mínimos consecutivos é de meio comprimento de onda. Veja a figura abaixo:

A amplitude da tensão nos pontos de máximo e mínimo é dada por:

$$V_{MAX}=V^{+}(1+|\Gamma_L|)$$
$$V_{MIN}=V^{+}(1-|\Gamma_L|)$$

E para uma linha de transmissão com reflexões, e com ondas estacionárias portanto, define-se o coeficiente de onda estacionária (COE) dado por:

$$COE=\frac {1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}$$

As ondas estacionárias são, em geral indesejáveis porque, se elas existem, existe reflexão, logo nem toda a potência produzida pelo gerador está sendo dirigida à carga. Além disso, no caso de linhas de transmissão que operam com sinais de grandes potências, como aquelas encontradas em estações de rádio e TV, nos pontos de máximo da onda de tensão, pode ocorrer ruptura do dielétrico que separa os condutores. Como além da onda de tensão, na linha de transmissão também se propaga uma onda de corrente, nos máximos da onda de corrente (os quais coincidem com os mínimos da onda de tensão) pode ocorrer derretimento dos condutores.

Voltando à expressão do COE, podemos notar que o mesmo depende apenas do coeficiente de reflexão da carga, e, portanto da impedância da carga. No próximo post vamos estudar os padrões de ondas estacionárias para alguns valores de impedância de carga de interesse, como o curto circuito, o circuito aberto, e a chamada “carga casada” que aproveitaremos para apresentar. Até a próxima...

Veja também

Ondas Estacionárias (parte II)

Ondas Estacionárias (parte III)

Ondas Estacionárias (parte IV)

Ondas Estacionárias (parte V)